8月31日草稿：统计学描述统计公式笔记

四种测量尺度（Scales of Measurement）

• Nominal Scale（定类尺度）：仅区分类别，无大小、无顺序，如性别、颜色、行业分类。
• Ordinal Scale（定序尺度）：类别之间可排序，但相邻等级的间距不一定相等，如满意度、学历层次。
• Interval Scale（定距尺度）：有顺序、间距相等，但没有绝对零点（零点是人为规定的），如摄氏温度。
• Ratio Scale（定比尺度）：兼具顺序、等距与绝对零点，可做倍数比较，如身高、体重、收入。

按时间维度划分的三类数据

• Cross-sectional（截面数据）：在**同一个时间点（截面）**上对多个个体观测所得。
• Time Series（时间序列数据）：对同一个体在不同时间点上连续观测所得。
• Panel（面板数据）：截面与时间序列的结合——对同一组个体在多个时间点上重复观测，即「多个体 × 多时点」。

Descriptive Statistics 的三个组成部分

1. Central Tendency（集中趋势）
   • Mean（均值）、Median（中位数）、Mode（众数）
2. Dispersion（离散程度）
   • Range（极差）、Variance（方差）、Standard Deviation（标准差）、Coefficient of Variation（变异系数）
3. Distribution Shape（分布形态）
   • Symmetry（对称性）与 Asymmetry（偏态/不对称性）

均值（Mean）

样本均值（样本量为 $n$）：

$$\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$$

总体均值（总体容量为 $N$，用希腊字母 $\mu$ 表示）：

$\mu=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}X_i}{N}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_N}{N}$

方差（Variance）

样本方差（无偏估计，分母为 $n-1$）：

$$S^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^{2}}{n-1}$$

总体方差（分母为 $N$，用 $\sigma^{2}$ 表示）：

$\sigma^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(X_i-\mu)^{2}}{N}$

标准差（Standard Deviation）

标准差是方差的算术平方根，量纲与原数据一致，因此比方差更便于解释。

样本标准差：

$$S=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^{2}}{n-1}}$$

总体标准差：

$$\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(X_i-\mu)^{2}}{N}}$$

变异系数（Coefficient of Variation）

当两组数据量纲不同、或均值差异很大时，不能直接比较标准差，需要用变异系数做相对离散程度比较：

$$CV=\left(\frac{S}{\bar{X}}\right)100\%$$

$CV$ 越小，说明数据相对于自身均值越稳定、越集中。

正态分布（Normal Distribution）

正态分布的概率密度函数（均值 $\mu$、方差 $\sigma^{2}$）：

$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(X-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$$

其图像是关于 $X=\mu$ 对称的钟形曲线；当 $\mu=0,\ \sigma=1$ 时即为 Standard Normal Distribution（标准正态分布），记作 $Z\sim N(0,1)$。