9月10日讲稿

决策树工具实操与期望效用理论

课堂笔记

一、决策树工具概述

1. 决策树的基本概念

决策树是一种用于描述和解决决策问题的图形化工具。构建方向是从左到右，逐步展开决策的各个环节。

核心要素：

决策节点：用方块表示，代表决策者需要做出选择的地方。

分支（Branch）：从决策节点伸出的树枝，代表可用的决策方案。有几个方案就有几条分支。

状态节点：用圆圈表示，代表不可控的自然状态或未来事件。

概率分支：从状态节点伸出的分支，代表未来可能发生的事件及其概率。

结果：每条分支末端对应的收益值，表示在特定方案 + 特定状态下决策者获得的收益。

2. 多级决策结构

复杂的决策问题可能是多级的：一个决策方案的分支后面可能跟着状态节点，状态节点之后又可能引出下一级决策节点。也就是说，决策不是一次性的，而是分阶段进行的。

3. 计算与修剪（Rollback / Pruning）

计算方法：从右向左计算。

从状态节点开始，将各分支的收益值乘以其对应概率，再求和，得到该状态节点的期望值。

每条决策方案分支都有一个期望值，代表该方案带给决策者的具体收益。

修剪规则：在决策节点处，选择期望值最大的方案分支保留，其余分支剪掉。

关键步骤总结：

第一步：从左到右画决策树（先画图，再计算）。

第二步：从右到左计算期望值（状态节点做加权平均，决策节点取最大值）。

第三步：描述结论（用一句话说明应该选择什么方案，以及在什么条件下选择）。

老师反复强调：不要画完树、算完数就结束！必须给出结论性描述。例如：按照期望值准则，应该选择在 B 处购买选地。

二、单级决策与多级决策的对比

1. 单级单次决策：只有一个决策节点，这种情况下决策树和决策矩阵能做的事情差不多。决策树的真正优势不在于此。

2. 多级决策——决策树的用武之地：当决策问题很复杂，不是一次决定就能完成的，而是涉及多次决策、多个阶段时，决策树的优势就体现出来了。决策矩阵无法处理这种多阶段、状态会变化的复杂决策，但决策树可以。

三、建厂问题——多阶段决策的典型案例

题目背景：企业需要决定建大厂还是建小厂，且市场销路会随时间变化。

（一）时间划分。将决策按年份划分为两个阶段：

前三年：销路好的概率为0.7，销路不好的概率为0.3。

后七年：销路情况会根据前三年的实际情况发生变化（不是固定不变的）。

（二）状态会变化。这是多阶段决策的关键特征：前面的状态会影响后面的概率。

如果前三年销路好，后七年销路好的概率会比较高。

如果前三年销路不好，后七年销路不好的概率会非常高。

因此，当状态变化后，决策也要相应调整。

（三）增加决策节点——扩建问题。在建小厂的情况下，如果前三年销路好，需要增加一个决策节点：是否扩建。

扩建需要追加成本（厂房面积、选址、器材等），小厂和大厂的成本差异很大。

追加成本后，各方案的收益也会不同。

建大厂的分支则不受此影响，保持不变。

为什么建小厂 + 视情况扩建可能优于直接建大厂？

建大厂需要一次性投入大量资金，如果前三年销路不好，损失很大。

建小厂先试水，前三年销路好再扩建，降低了前期风险。

但扩建需要追加成本，需要比较两种策略的期望收益。

四、华为进入美国市场——复杂决策树实例

题目描述：华为是否需要打入美国市场？打入后可能面临竞争对手跟进或不跟进。

（一）决策树结构

1. 第一层决策节点（最左边）：

方案 A：不打入 → 收益为0（到此结束）。

方案 B：打入 → 进入下一层状态节点。

2. 状态节点（打入之后）：

竞争对手跟进的概率 = 0.7。

竞争对手不跟进的概率 = 0.3。

3. 第二层决策节点（不管有没有竞争对手，华为都有三种定价策略）：高价策略、中价策略、低价策略。重要提醒：定价策略是华为自己决定的，不管有没有竞争对手，三种策略都存在。

这不是概率分支，是方案分支。

4. 第三层状态节点（竞争对手的定价反应）：华为的每种定价策略下，竞争对手也有高中低三种定价策略。

这是不可控的，但可以预估概率。

题目中简化了：不管华为定什么价，竞争对手的定价概率分布是固定的（高价0.4、中价0.5、低价0.1等，具体数字按题目来）。

实际上这是博弈关系：你定高价，对手可能定低价抢客户；你定低价，对手可能定高价提升形象。但题目简化处理了。

5. 结果值：每条最末端分支对应一个收益值。例如：华为打入、竞争对手跟进、华为定高价、对手也定高价，收益为15。

（二）计算过程（从右到左）

以三号决策节点为例：

高价分支的期望值 = $0.4 \times 15 + 0.5 \times (-5) + 0.1 \times (-25)$。

中价分支的期望值 = $0.1 \times 20 + 0.6 \times 5 + 0.3 \times 0$。

低价分支的期望值 = 类似计算。

比较三个期望值，选最大的保留。

假设高价分支期望值最高，则结论为：最终决策——选择打入美国市场；当遇到竞争对手跟进时，选择高价策略。

五、Excel 插件实操——Tree Plan

1. 插件安装

需要在 Excel 中安装 Tree Plan 加载项（免费插件）。

该插件不支持 WPS，需要使用 Microsoft Office（学校有正版免费软件）。

苹果电脑和 Windows 电脑的加载方式不同。

安装步骤：更多选项 → 加载项 → 浏览 → 选择下载的文件夹中的文件 → 确定。

2. 使用注意事项（非常重要！）。双击节点可以编辑，但要注意：

双击后如果看到公式（以 = 开头），千万不要修改！按 Esc 退出。

只有按 Enter 进去后确认没有公式的单元格，才可以填写数据。

状态分支上要先写概率，再写收益值。

概率之和必须等于1，否则会自动报错（判断条件：$1 - \left|\sum(\text{概率})\right| \le 0.0001$）。

3. 自动计算功能。当填写完整一条分支后，决策树会自动计算并显示最优选择。

系统会自动比较各分支的期望值，标记出最优分支。

所有计算都是自动的，不需要手动按计算器。

4. 收益值的计算方式：每个单元格的收益值实际上是把从决策节点到该结果节点整条路径上的所有值加总。公式形式如 =W14（引用前面的单元格），不要动这些公式单元格。

六、期望值准则的局限性——圣彼得堡悖论

1. 引出问题。期望值（Expected Value）计算的是客观的数学期望。但现实中，人们并不总是按照期望值来做决策。为了解释这个矛盾，丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）提出了圣彼得堡悖论（Saint Petersburg Paradox）。

2. 圣彼得堡博弈规则。游戏方式：不断投硬币，直到出现反面为止。

反面出现之前，正面连续出现的次数记为 $N$。

报酬 = 2的 $N$ 次方（即 $2^N$）。

反面出现时，游戏结束。

3. 期望值计算：

出现0次正面（第一次就反面）：概率 = $1/2$，报酬 = $2^0 = 1$。

出现1次正面（第一次正面，第二次反面）：概率 = $1/2 \times 1/2 = 1/4$，报酬 = $2^1 = 2$。

出现2次正面：概率 = $1/2 \times 1/2 \times 1/2 = 1/8$，报酬 = $2^2 = 4$。

出现 $N$ 次正面：概率 = $1/2^{N+1}$，报酬 = $2^N$。

$$\text{EV} = \left(\frac{1}{2}\times 1\right) + \left(\frac{1}{4}\times 2\right) + \left(\frac{1}{8}\times 4\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2^{N+1}}\times 2^N\right) + \cdots$$

每一项都等于 $1/2$，有无穷多项，所以期望值 = 无穷大！

悖论：

从数学上看，这个游戏的期望值是无穷大，理论上应该愿意花任意多的钱去玩。

但现实中，几乎没有人愿意花超过10块钱去玩这个游戏。

这说明期望值准则不能很好地解释人的真实决策行为。

4. 对悖论的几种解释

（1）小概率解释：连续5次正面朝上的概率已经是 $1/32 \approx 0.031$，约3% 的概率。人们倾向于认为这种小概率事件不会发生，因此不愿意为它支付高价。

（2）庄家资金有限解释：如果连续29次正面，庄家需要支付 $2^{29} \approx 5$ 亿以上。没有任何庄家有这么多现金。所以 $N$ 实际上有上限（约29），期望值就不是无穷大了，而是大约15左右。

（3）伯努利的解释——边际效用递减：这是伯努利提出的核心解释，也是最有影响力的。

用吃面包的例子说明：极度饥饿时吃第一个面包非常美味，第二个稍好，第三个已经食之无味。

同样的客观物质（面包 / 金钱），随着数量增加，每增加一单位带来的主观满足感（效用）是递减的。

数学上：效用函数是凹函数（concave），如对数函数 $\log(N)$ 或根号函数 $\sqrt{N}$。

斜率为正（越多越好），但斜率逐渐减小（增量递减）。

5. 用效用函数重新计算。如果把客观值（$2^N$）替换为效用值（如 $\log(2^N)$），那么：

每一项 = 概率 × 效用值 = $\dfrac{1}{2^{N+1}} \times \log(2^N)$。

由于 log 函数增长远慢于指数函数，这个级数是收敛的，期望效用是有限的。

这样就能解释为什么人们不愿意花很多钱玩这个游戏了。

核心结论：期望值（EMV = Expected Monetary Value）是客观的数值，但它忽略了人对财富的主观感受。引入效用概念后，才能更准确地描述人的真实决策行为。

七、效用理论（Utility Theory）

1. 效用的定义。效用（Utility）是指决策者从某个结果中获得的主观满意度。它兼具客观性和主观性：

客观性：效用总是针对某个具体的客观事物或结果（如100万元、一次投资成功）。

主观性：不同的人对同一个客观结果，感受到的效用不同（如100万对穷人和富人的意义不同）。

2. 课堂互动——不同人对100万的感受。老师问：觉得100万很多的人举手。结果几乎所有人都举手了。这说明：虽然100万是一个客观数值，但不同背景的人对它的主观满意度感受是相同的（都觉得很值钱）。

但当金额变小（如1000元、20元），人们的反应就分化了。老师举例：孙宇晨（加密货币大佬）出手就是几千万，100万对他来说可能不算什么。这说明效用具有个体差异性。

3. 风险态度的分类。通过一个思想实验来区分三种风险态度：假设你刚到深圳，什么都没有，刚参加工作。中了一个奖，二选一：

A：确定获得1000元。

B：抛硬币，正面得2000元，反面什么也得不到（期望值也是1000元）。

三种风险态度对应的效用曲线：

风险规避型（Risk Averse）：选择 A。效用曲线是凹函数（对数型），头1000元的效用远大于后1000元的效用。极度看重确定的收益，不愿意用确定的1000去冒风险换可能得到的1000。

风险偏好型（Risk Seeking）：选择 B。效用曲线是凸函数（如 $X^2$），后1000元的效用远大于头1000元。愿意为了可能得到的额外1000而承担风险。

风险中性型（Risk Neutral）：A 和 B 无差异。效用曲线是线性的（$U(X) = X$），期望效用 = 期望值，两种方案等值。

4. 效用函数的数学表达。冯·诺依曼（von Neumann）和摩根斯坦（Morgenstern）提出了效用公理化体系，用函数来拟合每个人的风险偏好：

风险规避者：效用函数为凹函数，如对数函数 $U(X) = \log(X)$。

风险偏好者：效用函数为凸函数，如 $U(X) = X^2$。

风险中性者：效用函数为线性函数，$U(X) = X$。

更复杂的效用函数主要通过调整参数来适配不同人的偏好，涉及统计精算等数学工具。

八、期望效用准则的应用——保险决策

1. 问题设定。企业为自己的厂房做火灾保险：

$A$ = 厂房总价值。

$I$ = 保险金（投保费用）。

$B$ = 发生火灾后的损失（$B \le A$，因为可能只烧一部分）。

$P(F)$ = 发生火灾的概率。

2. 决策树分析。

方案一：投保

方案二：不投保

发生火灾（概率 $P(F)$）：获得 $A - I$（总价值减去已交的保险金）。

不发生火灾（概率 $1 - P(F)$）：获得 $A - I$（同样减去保险金，因为已交）。

期望值 = $A - I$（无论是否发生火灾，都是 $A - I$）。

发生火灾（概率 $P(F)$）：获得 $A - B$（总价值减去损失）。

不发生火灾（概率 $1 - P(F)$）：获得 $A$（厂房完好）。

期望值 = $(A - B)\times P(F) + A\times(1 - P(F))$。

3. 投保条件。当投保的期望值 > 不投保的期望值时，企业会选择投保：

$$A - I > (A - B)\times P(F) + A\times(1 - P(F))$$

化简后得到：只有当 $P(F) > I / B$ 时，企业才会投保。

结论：企业是否投保，取决于实际发生火灾的概率是否大于保险金 / 损失额的比值。

如果发生火灾的概率很低（如坐飞机出事），而保险金相对损失额来说偏高，企业就不会投保。

这解释了为什么很多人不买飞机险：人们主观上认为出事的概率极低，而保费相对不值。

4. 现实中的保险行为。人们不买保险的原因：

对事件发生概率的主观估计偏低（如认为飞机不会出事）。

保费相对于自己估计的损失来说不够划算。

风险态度：如果是风险规避型，会更愿意投保；如果是风险偏好型，更不愿意投保。

九、课堂总结

本节课的核心脉络：

第一部分：决策树的工具实操——从左到右画图，从右到左计算，修剪后得出结论。

第二部分：期望值（EMV）的局限性——圣彼得堡悖论揭示了客观期望值与主观决策之间的差距。

第三部分：效用理论——用主观满意度替代客观金额，引入边际效用递减来解释悖论。

第四部分：风险态度分类——风险规避、风险中性、风险偏好，对应三种效用曲线形状。

第五部分：应用——保险决策中，投保条件取决于概率与保费的比值关系。

关键公式汇总：

决策树计算：状态节点 = $\sum(\text{概率} \times \text{收益})$，决策节点 = $\max(\text{各分支期望值})$。

圣彼得堡悖论：$\displaystyle E = \sum_{N=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{N+1}}\times 2^N\right) = \sum_{N=0}^{\infty}\frac{1}{2} = \infty$。

效用函数（凹函数）：$U(X) = \log(X)$ 或 $U(X) = \sqrt{X}$。

投保条件：$P(F) > I / B$。